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目录：相信很多小伙伴们都曾经见过下面这道有趣的题目：
上面是一个直角三角形，由4个不同的小块儿拼接而成，用不同的颜色加以区分。把4个小块儿打乱顺序之后，重新拼接成一个新的图形，就是这底下这幅图。可以数一下格子，上面是一个底为13，高为5的直角三角形。下面同样是底为13高为5，但是中间却缺了一小块。下两个图形是由一模一样的4个小块拼成的，那为什么底下还会缺一小块呢？这消失的一小块跑到哪里去了？这就是著名的数学趣题——消失的正方形。小伙伴们来想一想到底是怎么一回事呢？
相信聪明的小伙伴们应该已经看出来了，红色的那一块底为8高为3，蓝色的那一块底为5高为2，所以对应的两条斜线的斜率是不同的。就是说，整个图形不仔细看的话会以为是个直角三角形，但实际上最长的斜边是由两条斜率不同的线段拼接而成的，也就是说，它实际是个四边形。同样道理底下那个图形的最长边也是两段斜率不同的线段拼接成的。这样总体算下来，二者自然是不相等的。
这道题目最早发表在1961年5月号的《科学美国人》杂志上，马丁·加德纳(Martin Gardner)。相信你会为这道题目设计之精巧拍案叫绝，但其实，与马丁加德纳一生中提出的众多数学趣题相比，这只是沧海之一粟。今天我们就来介绍一下这位在趣味数学界鼎鼎大名的人物——马丁·加德纳。
1.青年时代在美国科普界，有三位大师被人们津津乐道。一位是平生著作近500本，同时也是著名科幻大师，写出了《基地》系列的阿西莫夫；一位是著名天文学家，其作品《暗淡蓝点》入选中学语文课本的康奈尔大学教授卡尔·萨根；另一位就是我们今天要介绍的，在数学科普和趣味数学领域称王的马丁·加德纳。
马丁·加德纳于1914年出生于美国的俄克拉荷马州，他的父亲是一位爱好魔术的地质学博士。在父亲的影响下，马丁·加德纳自小就对谜题，魔术等智力游戏产生了浓厚的兴趣，这也为将来他从事趣味数学科普工作埋下了伏笔。可以看出，上面提到的那道消失的正方形的数学趣题，不正是一个很好的、以数学原理为基础的视觉魔术吗。
马丁·加德纳后来就读于芝加哥大学，这所由石油大王洛克菲勒创办的，在自然科学与经济学领域享有世界声誉的著名大学。然而马丁·加德纳读的却是哲学系，他于1936年获得哲学学士学位。毕业后也没有从事与数学相关的工作，而是先在报社当记者，然后回到芝加哥大学，但是是在公众关系部工作。二战爆发后，他又加入了美国海军，担任随军记者，去过亚洲，欧洲等多个地方。战争结束后，他从事撰稿人和编辑的工作。
芝加哥大学风光
可以看出，马丁·加德纳的早年经历与数学几乎没有关系。他自己也承认，自己没有接受过任何正式的高等数学方面的教育，数学水平极低。但这又何尝不是一件好事呢？正是因为没有经历过这方面的专门训练，因此也使他没有陷入到符号与逻辑的泥淖当中。他就更懂得如何贴近普通大众，用最通俗平白的语言向大众讲授高深的数学知识，让枯燥的数学变得生动而有趣。
马丁·加德纳在战后做编辑期间，曾向著名的科普杂志《科学美国人》投过几篇文章，正是这几篇文章，彻底改变了马丁·加德纳的一生。
《科学美国人》(Scientific American)创刊于1845年，是美国非常受欢迎的一本科普杂志。它是《自然》杂志的姐妹出版物，相比之下《自然》更具有学术性，而《科学美国人》则是面向大众，它的文章更加浅显易懂。
某一期《科学美国人》杂志封面，封面标题：黑洞的秘密
1956年，《科学美国人》的主编皮尔决定在杂志中加入一个“数学游戏”专栏。能在《科学美国人》上发表文章的都是各个领域，尤其是科学领域中的专家与名人，然而皮尔此时却想到了当时还名不见经传的，之前曾经投过几篇稿子的马丁·加德纳。他的稿子曾给皮尔留下了深刻的印象，于是皮尔便向马丁·加德纳发出邀请，主持这个专栏。
讲到这里小编不免啰嗦两句。我们常常羡慕其他人拥有某方面的天赋，而自己只能碌碌无为地度过一生。但其实我一直坚信，人人都是天才，人人都具有某一方面的天赋，只不过是你还没有发现而已。所谓的神童，只不过是很早就发现了自己的天赋之所在，早早就走上了能充分展现自己天赋的道路。还有另外一些人，在尝试过百业千行之后，因为某个偶然的机会，终于发现了自己的天赋，进而也走上了正确的人生道路。但是更多的人则是，穷其一生也未找到自己的天赋之所在，难免是一种遗憾了。
这里我想提一下我一直很钦佩的两位作家。第一位是有着“童话大王”之称，著名文学形象皮皮鲁的创造者郑渊洁。其实我上面关于天才的观点，主要就是来自于他。郑渊洁连小学都没有念完，少年时代当过兵，修过战斗机，退役后又去当工人，给人家看水泵。后来因为偶然的机会，在杂志上发表了一首诗歌，从此发现了自己的文学才能。进而一发不可收拾，凭借着自己天才般的想象力，几十年间创造出大量深受欢迎的童话作品，赢得了“童话大王”的美称。
第二位是著名科幻作家王晋康。王晋康的名字可能大家比较陌生，那是因为科幻界的光芒全都被刘慈欣所占据了。事实上，王晋康的科幻作品在思想深度上与刘慈欣不遑多让，他和刘慈欣，何夕一起并称为“中国科幻界三巨头”，十五次摘得中国科幻银河奖这一成就也只有刘慈欣可与之相比。王晋康的故事也非常励志，年轻时当过木匠，柴油机厂工人，后来又到石油机械厂工作。45岁时，为了哄女儿编故事，发现了自己的科幻才能，进而走上了科幻创作之路。
王晋康
第一种情况是最令人羡慕的，第二种情况则是最励志的。而马丁·加德纳则属于第二种情况。此时的他已经43岁了，之前做过报社记者，军人，编辑的他看不出有什么数学才能，然而正是皮尔的推荐，让他终于回到了正确的人生道路。对魔术的挚爱，对智力游戏的狂热，自小便在脑子里形成的那些稀奇古怪的各种想法，此时喷涌而出。从1957年发表第一篇文章开始，到1981年结束，马丁·加德纳足足为这个专栏写了25年，文章不下200余篇。正是这200余篇文章，奠定了马丁加德纳在趣味数学与数学科普领域的王者地位。该专栏也成为《科学美国人》最受欢迎的产品之一。
马丁·加德纳晚年定居于美国的亚特兰大，于2010年去世。他在全世界拥有大量的粉丝，并成为数学游戏的一个标志。1993年，数学爱好者们发起举办了以他命名的“马丁·加德纳聚会”，地点就选在亚特兰大，每两年举办一次。这个聚会是全世界数学游戏爱好者的盛会，来自世界各地的数学家，爱好者，甚至魔术师在聚会上各显神通，一个个数学谜题，一个个智力玩具，大家玩得是兴致盎然。
我国也有类似的活动。北京马丁·加德纳聚会由张卫与雷彼德夫妇与中国古代益智游戏探索基金会发起，至今已举办了十届。
第九届北京马丁·加德纳聚会在首都师范大学举行
马丁·加德纳除了给《科学美国人》撰稿以外，著有大量书籍，内容除数学科普以外，还涉及哲学，反伪科学等等，是一位非常高产的科普作家。
当然，马丁·加德纳留给世人的最受欢迎的书籍，就是他的“啊哈！”系列。
“啊哈！”系列有两本书组成，分别是《啊哈！灵机一动》(Aha! Insight)和《啊哈！原来如此》(Aha! Gotcha)。从名字就可以看出来，两本书充满了趣味性，的确如此。两本书的内容正是马丁·加德纳的看家绝活，书中收录的是他在《科学美国人》上25年间撰写的数学趣题中的精华部分。每道题目都配有插图，并且是以对话体的形式呈现出来的。这种形式贴近生活，非常吸引读者，特别是对于小朋友们十分友好。
英文原书影印刷
比如这个例子，就是《啊哈！灵机一动》里面的第2道题目，这是英文原版的一页。
英文好的同学可以自己读一下，我来叙述一下它的中文大意。
有37名选手参加乒乓球比赛，一对一比赛，输者被淘汰，胜者进入下一轮比赛。如果总人数是奇数个，那么就让其中一名队员轮空。如此下去，直到决出最终的冠军为止，请问一共需要打多少场比赛？
马丁·加德纳首先给出了一种做法——列举法。即第一轮中1名选手轮空，剩下的人需要进行18场比赛。因此有19人进入第二轮，同样让1人轮空，剩下9场比赛。如此下去把所有场数加在一起即得到答案。
当然，如果这样做的话就没有丝毫“趣味性”可言了。马丁·加德纳紧接着说了一种绝妙的方法：不管怎样比赛，每场比赛下来肯定要淘汰掉1个人，最终1个人得冠军说明有36个人被淘汰，于是需要进行36场比赛。
怎么样？你是不是也有一种“啊哈！灵机一动”的感觉。的确是这样，马丁加德纳用他那魔术般的技巧，让枯燥的数学活了起来！无在乎他被美国读者誉为“国家的财富”。我们今天看到这些题目仍然觉得回味无穷。
这两本书也被翻译成中文，由科学出版社出版，感兴趣的小伙伴们可以在书店买到它们，从中领略马丁·加德纳带给我们数学的无穷的乐趣！
第八单元知识点
1、用两个不同的数字（0除外）组合时可以交换两个数字的位置；用三个不同的数字组合成两位数时，可以让每个数字（0除外）作十位数字，其余的两个数字依次和它组合。在排列和组合中，要按一定的顺序进行，才不会选重或选漏。
数字的组合；衣服的搭配；握手；怎样付钱；推理、猜测。
在排列和组合中，要按一定的顺序进行，才不会选重或选漏。
排数字的题：看清要求写几位数，固定一个，其他的调换
握手、搭配的题：先固定第一个分别与后边搭配；再固定第二个，分别与后边搭配；依次类推
搭配钱的题：先固定最小面值，以最小面值的0张、1张、2张、3张……来判断有多少种
路线的题：左边第一条小路，与右边小路分别搭配，左边第二条小路与右边分别搭配，……
2、借用连线或者符号解答问题比较简单。
3、排列与顺序有关，组合与顺序无关。
图文讲解
易错点分析
同步练习
同步练习2
1．想一想,填一填。
(1)用2、3、4三张卡片能摆成( )个两位数,它们分别是( )。
(2)三个人排成一排照相,有( )种不同的排法。
(3)用3个数6、8、9任意选取2个求积,得数有( )种可能。
(4)用红、黄、蓝三种颜色给地图上的两个城市涂上不同的颜色,一共有( )种不同的涂法。
(5)二年级三个班进行跳绳比赛,每两个班进行一场比赛,一共要赛( )场。
(6)李老师有《趣味童话故事》、《趣味谜语故事》和《趣味数学故事》三本书,她把书送给小明、小刚和小亮各一本,一共有( )种不同的送法。
(7)有2顶帽子和2条围巾,一顶帽子配一条围巾,有( )种不同的搭配方法。
(8)只能选择一种主食和一种菜,有( )种不同的配餐方法。
主食：馒头 米饭
菜：炒茄子 鱼香肉丝 西红柿炒鸡蛋
(9)4个好朋友见面了,每两个人之间握一次手,一共要握( )次手。5个小朋友,每两个人之间握一次手,一共要握( )次手
2．连一连。
有4件上衣,2件裙子,有几种不同的搭配方法?请连一连。
一共有( )种不同的搭配方法。
3．小兔子从家经过树林去找小公鸡,有多少种不同的走法?写出来。
4．4名学生和2位老师进行乒乓球比赛,如果每名学生和每位老师各打一局,一共要打几局?
5．明明、小小、皮皮三人一起到理发店理发,理发师只有一位,三个小朋友的理发顺序有几种?请用序号表示出来。
6、妈妈带了100元钱到商店买上衣和裤子,下面是三件上衣和三条裤子的标价。
(1)在钱够的情况下,妈妈选了一件上衣和一条裤子,她有几种不同的选法?(分别用序号表示出来)
(2)她可能付了多少元?找回多少元?
参考答案
1.(1)623、24、32、34、42、43
(2)6
(3)3
(4)6
(5)3
(6)6
(7)4
(8)6
(9)610
2.
8种
3.9种
①—④①—⑤①—⑥
②—④②—⑤②—⑥
③—④③—⑤③—⑥
4.一共要打8局。
5.6种
①②③ ①③②
②①③ ②③①
③①② ③②①
6.(1)有6种不同的选法:①⑥、②④、②⑥、③④、③⑤、③⑥。
(2)答案不唯一,如:①⑥56 27=83(元)
100-83=17(元)
很久很久以前的一个阿拉伯部落，一位老人辛苦一辈子，临终前留下了17匹骆驼。弥留之际，他把3个儿子叫到身边留下遗嘱："孩子们，这17匹骆驼是我一辈子的积蓄，也是我们家最忠实的仆人。我快不行了，把骆驼留给你们。老大为家操劳最辛苦，分一半吧；老二得三分之一；老三啊，你还年轻，就分九分之一吧。切记，不能把骆驼宰了....."话没说完，老人就驾鹤西去了。
父亲留下的17匹骆驼可把兄弟3人给难住了，三兄弟在一起商量了很久，始终想不明白怎样在不把骆驼杀掉的前提下把17匹骆驼分成1/2，1/3，和1/9。他
们只好去请教部落里的智者。
智者认真思考了许久之后，对他们说："这样吧，我借一匹骆驼给你们，现在共有18匹，这样就好分了。老大得1/2，是9匹，老二得1/3，是6匹，老三得1/9，是2匹，你们总共分得17匹，剩下的1匹再还给我。"
老人的遗嘱就在智者巧妙的"借一还一"中得到了完美解决。
初中同学们若能把这种"一借一还"的方法运用到数学学习中来，会让难题变得简单。以"因式分解"为例。因式分解： x⁴ 4。很多同学看到这样的题目觉得无从下手，读完上面的小故事，聪明的你们一定会尝试"巧借巧还"的方法。 x⁴ 4，我们借一个4x²，构成 x⁴ 4x² 4，然后再把借来的4x²还回去，这样就变成了 x⁴ 4x² 4-4x²，看到这里，相信同学们立刻就能分解成（x² 2)²-4x²，上式可以写成 （x² 2)²-(2x)²， 再进一步分解得到（x² 2x 2)(x²-2x 2)。
这种巧借巧还的思想，实际上就是因式分解中的拆项、添项，这也是数学解题的重要技巧。
数学老师说，这是配方法，是求解许多数学问题的有用方法，是应用广泛的重要解题方法。
莱布尼茨是17世纪德国著名数学家，微积分的创始人之一。他不会分解代数式x⁴ a⁴，认为这个式子不能再分解了。
18世纪的英国数学家泰勒说，x⁴ a⁴还可以进一步分解，把它分解成(x² √2ax a²)(x²-√2ax a²)，泰勒分解的方法并不复杂，仅仅是用到了我们前面所说的一借一还的方法。
我们可以借一个2a²x²，再还一个2a²x²，就能够把原式配成完全平方，完成因式分解。
原式=(x⁴ 2a²x² a⁴)-2a²x²
=(x² a²)²-(√2ax)²
=[(x² a²) √2ax][(x² a²)-√2ax]
=(x² √2ax a²)(x²-√2ax a²)
这个一借一还的方法，就是数学老师说的配方法。掌握了这种方法，"因式分解"将不再难分难解。
这个历史事实告诉我们，掌握代数中的基本概念和基本方法还不算太困难，但是能够灵活运用这些方法，去解决一些综合性问题却比较困难，这需要掌握一些技巧。
数学语言追求的是简洁明快而不是啰嗦，而文学语言讲究修辞，有另外的追求。“文似看山不喜平”，小说和剧本创作都要求情节曲折，故事推进有跌宕起伏，避免小胡同赶猪——直来直去那样的平铺直叙。
拿小学生造句举个例子：比如老师要求用“来了”造句，甲乙丙丁四位同学是这样作答的：
甲同学：你来了。
乙同学：我来了。
丙同学：他来了。
请问，这三位同学会得到语文老师的表扬吗？再看丁同学是怎样作答的。
丁同学：树上的鸟儿轻轻地飞来了。
显然，只有丁同学得到了语文老师的表扬。
如果学霸来了会怎样？学霸说，造句太简单了，我要写诗。
天上有没有玉皇？
地上有没有龙王？
我就是玉皇，
我就是龙王，
喝令三山五岳开道，
大喝一声——
我来了！
这首诗并不是学霸写的，而是上个世纪大跃进时期的红旗歌谣。
查阅资料，百度知道告诉我们：
匡荣归先生是邵东县黄陂桥乡杉树坪村人，出生于1927年，上个世纪50年代，《人民文学》曾经一次刊登他以歌颂人民群众、歌颂人民公社为题材的诗歌12首，得到了毛泽东、郭沫若等名家的好评。他的诗歌“天上没有玉皇，地上没有龙王，我就是玉皇，我就是龙王，喝令三山五岳开道，我来了。”传唱全国，并且入选当时的小学教材。
表示藐视天地，与天斗其乐无穷，与地斗其乐无穷，与人斗其乐无穷。
热播剧《天下长河》的剧本创作也用到了一借一还的手法。
当时河道总督王光裕自尽之时考虑亲属没法保护，才留有帐簿交到爱女柔儿，紧要关头保护家人。这个无中生有的账簿可以称为一借，起到了推动剧情发展的重要作用，并且制造了悬念，吊起了观众的胃口。
柔儿经过陈潢安排，总算看到皇上，表明身份和行事动机，说明帐簿里记录了众多事关河堤水灾的腐败分子，她希望皇上可以保全她和其他被流放的家人。黄河大坝监斩靳辅。紧要关头，柔儿急匆匆赶到高喊刀下留人，想要提供帐簿证实靳辅清白。第8集终。
第9集，柔儿的出现让事情有了一丝转机，明珠建议暂停行刑先看账本，索额图认为应当先斩靳辅以安民心。眼看二人争执不休，陈潢恳求康熙查证，在场其他百姓齐呼靳辅清廉无私，最终康熙把账本丢入火盆，大赦靳辅，将金文祥关进大牢。
康熙拿到账簿，居然看都不看，就烧掉了，实在是出人意料之外，又在情理之中，可以称为一还。到此，一借一还的手法就前后呼应上了。
满清皇帝及贵族都喜欢看三国，所以应当知道官渡之战曹操获胜后，虽然在袁绍处缴获大量自己的下属通敌书信，但是根本不看就付之一炬的故事。所以，前面的一借和第9集的一还，逻辑上都讲得通。这一借一还的手法确实很巧妙，收到了平地起波澜的艺术效果。
这个一借一还，也符合电视剧创作的原则，一些细节可以自由发挥艺术创造，大的事件尊重史实，绝不戏说。所以，《天下长河》堪称历史题材的正剧。
一借一还在很多领域和行业都有广泛的应用，再举个金融业的例子。
例如年轻人买房，申请三十年贷款，称为一借，用三十年时间还贷，称为一还。这是一借一还的精妙案例。
这个案例里的贷款方和放贷方是互利共赢的关系。贷款方实现了过上美好生活的愿望，在银行的帮助下，犹如变魔术一样，提前三十年买房，用逐渐贬值的钞票还贷。有句话叫做成功来得太晚，快乐也会减半，所以，这种跨时间的价值交换是年轻人的利好。另外一方面，银行也心满意足，达成目标，何乐而不为呢？
交易增加福祉，当交易达成，对交易双方都有利。
交易产生财富，dT>0，这个在理论和实践上都已经被证明。
我们就不再赘述，我们再说说一个被大家忽视的效应。
比如说，你想发财，需要10个条件，现在手上只有3个，你还缺7个。
那么，你怎么凑齐这7个条件呢？
关键是你还不知道着7个条件是什么。
答案是：交易。
比如说没有铁矿，你可以买啊。
在频繁的交易中，和不同的人交易中，你就不知不觉就凑齐了另外的7个条件，触发了反应。
就像一个化学家混合了10种溶液，反复摇晃试管。
他不知道新的化合物在试管哪个地方出现，在什么时间出现，但是肯定会出现。
瓦特的蒸汽机首次商用，《国富论》的首次出版，美国独立宣言的发布，都是在1776年。
就是大自然这个化学家使劲摇晃的结果。
我们不必说复杂的交易，就从最纯粹的信息的交易说起。
信息的交易叫什么？
交流。
一顿操作猛如虎，一看淘宝三块五。
对你很难的东西，可能对于别人很简单，甚至白送。
每个人的资源和信息可能都是不充分的。
只要交流、交易，就无形中能让条件满足，形成爆发式的增长，达到一种不可思议的程度。
很多时候，是否原创，其实没有那么重要。
真正的力量其实是那种高质量信息流和交易流碰撞。
一个启发带来另外一个启发，一个增长带来另外一个增长。
推荐一本好书《金融的逻辑》，
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
第一次听说庞特里亚金这个名字是上常微分方程课的时候，课余找来了他的名著《常微分方程》作参考书。了解一点庞特里亚金的故事后，整个人都惊呆了，如此著名的一个数学家居然从十四岁起就失明了？！当时就觉得他是欧拉再世，甚至比欧拉还顽强，毕竟欧拉是老了以后才瞎的。除了在微分方程中留下自己的大名外，庞特里亚金在许多领域内都有贡献，例如后来我还在控制论和代数拓扑中看见了他的身影。那么，庞特里亚金的一生是否就是我们喜闻乐见的“身残志坚”这么简单呢？
庞特里亚金(Lev Semyonovich Pontryagin,1908~1988)出生在莫斯科一个非常普通的家庭，父亲是会计而母亲则是裁缝，一家人的生活并不富裕。庞特里亚金从小就对事物充满好奇心，喜欢摆弄些机械类的东西，但不幸的是大约在14岁时，由于家里的汽油炉爆炸，庞特里亚金不幸眼睛受伤而完全失明。尽管父母出于爱护他的目的不让他再做多余的事，但庞特里亚金却异常坚强和倔强，始终坚持要和正常学生一样继续上学。拗不过的他的父母只好同意，爱子心切的母亲则辞掉了所有手头的活计，专门陪他读书，每天除了接送上学外，晚上还要把庞特里亚金想看的书认真读给他听。
庞特里亚金在不幸的同时又是非常幸运的，因为他有一位 伟大而无私的母亲。他的母亲据说只上过一年小学而已，完全不懂数学，为了给庞特里亚金读数学书，不得不自己发明一套语言，例如将集合中的“包含于⊂”符号读成“尾巴向右”。
最终在庞特里亚金和母亲的共同努力下，他得以凭优秀的学习成绩来到梦寐以求的莫斯科大学数学力学系继续学习。但庞特里亚金的命运总是和他过不去，不久后他的父亲不幸去世，一家人生活的压力全部落到了母亲身上，他的母亲不得不一边打工一边照顾庞特里亚金，而且为了给他越来越复杂的数学书，竟不得不也“学”起了数学和英语。在这些不幸面前，倔强的庞特里亚金越发勤奋地学习数学，他的优秀品质打动了苏联科学院院士，著名拓扑学家亚历山德罗夫，后者欣然收他为徒，指导他进行学习研究。
庞特里亚金，亚历山德罗夫和柯尔莫哥洛夫
亚历山德罗夫是当时世界上最重要的拓扑学家之一，他在拓扑学(尤其是点集拓扑学)上的成就相当之大，他与德国著名数学家霍普夫合著的《拓扑学》在相当长的一段时间内都是该领域最权威的著作，影响了后世好几代数学家。在亚历山德罗夫的指导下，庞特里亚金成长迅速，很快就在代数拓扑、微分拓扑领域和拓扑群论内做出了重要的成果，其中尤以庞特里亚金对偶定理最为出名，得到这些成就时，庞特里亚金才26岁，博士都还没毕业。后来，庞特里亚金和法国著名数学家托姆(1958年菲尔兹奖得主)奠定了代数拓扑中配边理论的基础，也发展了示性类理论，这也就有了被我们称为庞特里亚金示性类的重要数学对象。
托姆
庞特里亚金27岁获得数学博士学位后立即就被莫斯科大学聘为教授，而1939年在美国普林斯顿出版总结了自己成果的《拓扑群》一书后，庞特里亚金的大名和光荣事迹则立即传遍了世界，收到人们的广泛崇敬。
20世纪50年代之后，苏联拓扑学派的领袖亚历山德罗夫仍然痴迷于传统的点集拓扑学，并且宣称拓扑学已经死了，这样裹足不前的思想使得苏联拓扑学开始与世界脱节，在这样的负面影响下以及国家社会风气的促使下，庞特里亚金的研究兴趣逐渐转向了应用数学，开启了他别样的数学人生。但这里也必须提到，后来许多年轻人不满苏联拓扑学没落的现状，便自己组织讨论班学习法国代数拓扑学派的工作，这些年轻人中后来诞生了许多大师，例如诺维科夫(菲尔兹和沃尔夫双奖得主)，阿诺尔德(沃尔夫与克拉福德奖得主)等人。
阿诺尔德
庞特里亚金属于那种干一行成一行的数学家，他在转向控制论的研究后，取得的成就甚至超过了以前。庞特里亚金极大值原理是庞特里亚金在1956年提出的重要结果，如今已是控制论里最重要最基本的内容，它在相关领域，尤其是工程领域内得到极为广泛的应用，发挥了极大的实际作用。而庞特里亚金也与维纳一起成为了控制论先驱。
庞特里亚金尽管双目失明，但凭借顽强的毅力取得了如此多而重要的数学成就，这在数学史上确实是伟大的奇迹。而且庞特里亚金能说会道，热衷于政治活动，也颇受当局重用，他不仅在苏联国内数学界身居高位，后来还当上了国际数学大会的副主席。
我们现在说到庞特里亚金，除去他的数学成就外，也不能忽视他的一些“黑历史”，否则这就是对曾经“深受其害”的人的不公。
庞特里亚金是苏联出了名的“反犹急先锋”，这是他受当局喜爱的一个重要原因。据当代伟大的几何大师格罗莫夫回忆，庞特里亚金自己也有犹太血统，他的这种反犹主义很可能与他失败的婚姻有关。格罗莫夫的导师罗赫林曾经也是庞特里亚金的学生，后来还当过庞特里亚金的秘书，但由于他是犹太人，庞特里亚金一直想排挤他。亚历山德罗夫还在当校长的时候极力保住了罗赫林的位置，但在他卸任后，罗赫林立即被驱逐出了莫斯科，几年后竟不幸染病抱憾离世。由于庞特里亚金从中作梗而导致的类似悲剧还远远不止罗赫林一例，由于反犹浪潮的波及，苏联数学三巨头之一的沙法列维奇以及数论大师维诺格拉多夫甚至被莫名其妙的被安上了“恐犹反犹”的帽子。
格罗莫夫
1978年，当苏联数学家马尔古利斯获得菲尔兹奖时，庞特里亚金首先站出来强烈反对，而且在苏联当局看来，犹太数学家得奖不符合他们的价值观，所以甚至想利用庞特里亚金国际数学家大会副主席的身份阻挠马尔古利斯得奖，此计失败后干脆禁止马尔古利斯出国领奖。
马尔古利斯
今天我们常说很多苏联数学家因为政治原因没有拿到菲尔兹奖，典型的如女数学家Ladyzhenskaya，格罗莫夫和阿诺尔德，但实际上这其中有不少是被苏联自己“黑”掉的。除了马尔古利斯外，1970年诺维科夫荣获菲尔兹奖时，当局也曾阻挠过他去领奖。不过好在马尔古利斯和诺维科夫最终还是拿到了菲尔兹奖，不过有的数学家却没有这么幸运，比如之前已经提到过的格罗莫夫和阿诺尔德，据说也是因为与庞特里亚金有关的一系列复杂因素导致他们没有得奖。由于这样的政治压力，不少犹太数学家不得不远走他乡，比如格罗莫夫后来移居了法国。
菲尔兹奖章
以如今的眼光来看，庞特里亚金的一生可谓毁誉参半，他的数学成就使得他名载史册，但他的排犹主义的确迫害了不少其他数学家。好的地方值得我们崇敬，但不好的地方我们也不能就此忽视，只有正反两面结合，我们才能看到一个真实的庞特里亚金。
前 言数学的神韵by李尚志
14/201
数学精微何处寻?
纷纭世界有模型.
描摹万象得神韵，
识破玄机算古今.
岂是空文无实效，
能生妙策济苍生。
经天纬地展身手，
七十二行任纵横.
这首诗最初是我为编写的一本数学建模教材写的，放在教材正文之前.
为什么数学教材要从诗开始?《三国演义》从诗开始，《红楼梦》从诗开始，数学书为什么不能从诗开始?
这首诗的题目是《咏数学建模》，主题是讲数学怎样从现实世界中产生出来.毛泽东有篇文章，一开始就问:“人的正确思想是从哪里来的?是从天上掉下来的吗?是人的头脑里固有的吗?”数学也是人的正确思想.它不是从天上
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数学的神韵 15/201
掉下来的，也不是人的头脑里固有的.数学，归根结底是从现实世界中来的，是为了描述纷纭的现实世界中的各种现象、解决现实世界中的各种问题而产生出来的，怎样描述“万象”?最开始很可能是“描摹”，就像照相机一样将风景人物依样照下来.但现实世界的万象太复杂，难以一一描摹，即使描摹下来，也对我们没有用处，必须从复杂的不同事物中发现共同点，发现相互联系，发现藏在表面现象后面的规律，这就是神韵，就是玄机，这才产生了各门科学，包括数学在内.
抽象是数学的一个主要特征，抽象也是很多学生学习数学的主要困难和障碍.怎样解决这看起来不可调和的矛盾?基于
基于这一认识，本书引入了大量故事和实例，来体现数学的思想，显示数学的神韵.这些实例，有些是
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让你在轻松愉快的神游中领略数学的神韵，接受数学的熏陶精辟的数学思想“随风潜入夜”，不知不觉地流入读者的心灵.强大的数学方法“润物细无声”，让貌似困难的问题迎刃而解.
书中涉及的问题，表面上简单，看起来像是“山寨版”，实际上暗藏玄机，体现了最正宗的数学大道理.简单的方法最有威力，这是金庸的武侠小说《神雕侠侣》中的独孤求败留下的武功教材中阐述的道理，不妨称为“独孤求败基本定理”.将复杂转化为简单，困难转化为容易，也就是“打不赢就跑，跑到打得赢的地方再打”，仿佛是《天龙八部》中段誉的逃跑功夫“凌波微步”。既要转化，又要保持一些重要的性质不变，这就是著名数学家F克莱茵关于几何学的著名讲演“爱尔兰根纲领”中的思想.几何太灵活，不容易计算，转化为代数来计算;代数太抽象，计算太繁琐，转化为形象生动的几何模型来帮助理解.凡此种种，都体现了数学的神韵.
几何好懂不好算，代数好算不好懂.向量既是几何图形，又能进行运算，兼有几何与代数的优点，在一定程度上克服了两者的缺点，是实现几何与代数两者相互转化的最好的桥梁.实现这种转化的基本路线是:将几何图形的性质用向量运算的语言来描述，通过向量的代数运算来解决。如果还不能解决，再将向量运算通过坐标转化为实数的代数运算来解决，这就是解析几何.现在有些“改革”教材，口头上也说向量是沟通几何与代数的桥梁，却迟迟不修这座桥梁，将向量放在第四册，几乎到了必修教材的
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最末尾，却将解析几何放在第二册，这就是铁了心拒绝通过向量这座桥梁通向解析几何，逼着学生遭受徒步涉水之苦，甚至承受淹死的危险。本书介绍了通过向量实现由几何到代数转化的一些具体实例，希望让一部分学生见识一下向量这座桥梁的威力.同时还在第四节介绍了另一方面的例子，说明几何观点也可以反过来出奇制胜地解决代数问题.
本书也讲了微积分，但不是将大学中的微积分教材照搬过来，而是用“凌波微步”的功夫重新处理，使它的形象更简明，非匀速运动用与之最接近的匀速运动来描述，曲线用与之最接近的直线来刻画，函数用与之最接近的一次函数来代替，这是微积分的主要思想，是莱布尼茨发明微积分时提出的观点.由这个观点出发，我们处理了中学物理和数学中已经提出但还不能解决的问题，或者只知其然而不知其所以然的几个问题，例如:圆锥曲线的光学性质，变速运动的速度与路程，曲线围成的面积，等等.没有学过微积分的读老可以由此入门，已经学过微积分可以从新的角度重新加以理解.
你到餐馆去，面对一份菜单，不需要将全部菜都点来品尝一遍，也不必抱怨菜单中的菜太多你不能全部吃完。只要每个顾客都能找到他喜欢的菜，就很好了。本书也是这样，不指望每个读者都学过本书涉及的全部知识。你也不必抱怨哪个地方没有学过、看不懂.事实上，哪怕是上过大学甚至读过研究生的读者也未必学过书中的全部知识，例如书中所介绍的正17边形尺规作图的理论和作法，涉及抽象代数中的伽罗瓦理论，除了代数专业的研究生外，大
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多数读者就没学过.但是，没学过并不意味着读不懂，学过也不意味着懂了.本书强调的是数学思想而不是具体算法，但同时也强调数学思想不是空的，所要讲的数学思想都通过具体实例(包括具体算法)来体现.因此，不必为-你有多少知识不懂而颓丧，只要你有收获，就值得高兴.不同文化层次的读者都可以从本书中得到收获，对数学的思想有所体会.学过小学算术的读者，就可以读懂前两章的前几节的内容并从中有所收获.学过高中数学的读者已经具备足够的知识读懂本书的大部分内容.有些内容你学过。但本书中利用这些知识来解决问题的例子也可以让你耳目一新，而且你可能发现本书中的叙述与你所学的书本上的叙述不一样.叙述虽然不一样，只要都是对的，就应当相互不冲突，相信本书的叙述可以帮助你对以前学的东西加深理解，将以前令你讨厌的东西变得可爱，以前觉得无用的变得有用，你会更善于用它们来解决各种问题--包括实际生活中的问题和考试中遇到的问题.有些内容你以前没学过，或者没学好，或者以后才学，你可以通过本书先学一遍或者再学一遍，首先体会它的总体思想，在思想的指导下再去学它的具体操作和应用.这就是本书希望达到的目的.当然，我知道，不可能在所有读者身上都达到这个目的，但至少应当能够在大部分读者身上达到.我们希望这部分读者越多越好
李尚志
2009 年 11 月
23/201
第1章
简单见神韵
你会算24吗?
算24，是很多人都知道的一种用扑克牌玩的游戏。每张牌代表一个正整数为简单起见，可以将JQ，K及“大小王”去掉，并约定 A代表1.参加游戏的4个人每人出1张牌4张牌就代表了4个正整数.4个人就开始竞争，看谁最先将这4个正整数通过加减乘除算出24来，而且每个整数恰好用1次。所用的数学知识虽然只是简单的算术，但要算得又快又正确也不容易，并且还有很多难题出现。
【例1】试将以下每组4个整数通过加减乘、除算出24，使每个数恰好用1次。
(1)5，5，5，1.(2)3，3，7，7.
(3)4，4，7，7.(4)3，3，8，8.
算24虽然简单。但这几个题并不容易算。也许，经过努力之后你仍然算不出来，于是你相信它们都是不可能算出的。
算不出来的情况确实有。例如，1，1，1，1肯定算不出来.有人也许会说他算出来了:(1 1 1 1)!=4!=24.不过，这不符合“将4个正整数通过加、减、乘、除算出24”的规则.
类似地，将5，5，5，1通过乘方运算
5x5－1⁵=24算出24，或
图一
图二
第1章 25/201
算24本来不是什么难题，但是，很多人有一个思维定式:既然开始的4个数是整数，算出的结果24也是整数，中间的结果也就必须是整数.其实，规则并不禁止中间过程出现分数，只要打破这个定式，就不难凑出以上难题的答案。不过，按照我们上面的思路，利用运算律进行恒等变形，更加简单自然，因而也更精彩。
中国民间流传很多有趣的算术题。比如，下面就是一个:
【例2】 100个人吃100个馒头，其中大人每人吃3个，小孩每3人吃1个。大人、小孩各多少个?
分析与解答：如果用算术方法解，可以考虑下面的解法:
先将要求放宽，只要求人数与馒头数相等，不要求都是100.很容易凑出一个满足这个条件的方案:让1个大人与3个小孩同在一桌，共是4个人，吃4个馒头，人数与馒头数相等。假定摆很多桌子，每张桌子都同样坐1个大人3个小孩，4个人吃4个馒头，则所有桌子的总人数与总的馒头数由4人和4个馒头同时扩大相同的倍数，得到人数与馒头数相等.只需算一算要摆多少桌子才能让人数达到100，则所吃的馒头数也达到100.每桌4人，100人就需要100÷4=25 桌。25桌就是25个大人，75个小孩.
【例3】 100条鱼100斤，大鱼每条10斤，中鱼每条1斤，小鱼每条1两，大、中、小鱼各多少条?
话说斤两
斤、两是在推行公制单位之前中国使用的度量单位，1斤等于16两，1两就是(1/16)斤。关于斤与两，有些故事值得在这里讲一讲。
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我读过一本书，说的是古代帝王之谜。其中说到秦始皇靠暴力推行的东西都经受不起历史的考验，没有流传下来，并且举了“1斤=16两”作为没有留传下来的例子。我没有去考证“1斤=16两”是秦始皇规定的还是更早的时候就有的。但不用考证，我就知道“1斤=16两”直到20世纪50年代还在使用，那时我在读小学。那时的会计在进行斤两的单位换算时还需要背熟“一退六二五，二一二五，三一八七五，……”之类的口诀。“一退六二五”就是“1两=0.0625斤”。“二一二五”就是“2两=0.125斤”……。我父亲是会计，在我小时候也教我背过这些口诀。后来改成“1斤=10两”，再后来直接用克、千克这些国际通用单位，这些口诀似乎都没有用了。但这些口诀使我背熟了分母为16以至于分母为8，4，2的分数展开成的小数:1/16=0.0625，2/16=1/8=0.125，…，直到现在对我还很有用。
“1斤=16两”从秦始皇时代(或者更早)使用到20世纪50年代，长达2000多年时间，怎么能说没有流传下来呢?这只能说明书的
“1斤=16两”使用了2000多年，也渗透到中国文化中去了.还产生了一个成语:“半斤八两”。按照“1斤=16两”，当然就有“半斤=八两”。“半斤八两”就是形容两件事相等，分不出谁多谁少，谁好谁坏，谁对谁错。要是按后来的“1斤=10两”的度量制度，那就是“半斤<八两”了，现在民间就流行一个新的说法“能喝半斤喝八两”，借用“半斤<八两”来形容某人喝酒超过了自己的能力。
20世纪50年代末期“1斤=16两”被废止不用，改为“1斤=10两”，这是为了与十进位制相协调，使单位换算更容易掌握，减少广大群众学习和使用的困难。但从数学上说，十六进位制不见得比十进位制更差.至少它有一个优点:半斤=8两，是整数；半斤的一半=4两，仍是整数；半斤的一半的一半=2两，再求一半是1两，也都是整数.我们现在很崇拜二进位制，很为老祖宗的易经和八卦中的
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二进位制萌芽感到自豪。十六进位制其实也是二进位制的范畴，是四位的二进制数，为什么就不感到自豪而要说是暴力的产物呢?
另外的进位制，例如量时间和角度采用六十进位制:1小时=60分，1分=60秒、它有一个优点:1小时的1/2，1/3，1/4，1/5，1/6
分别是
30分，20分，15 分，12分，10分，都是整数.
而十进位制其实并没有什么特别的道理，只不过因为我们长了10个手指，人类最开始借助于手指来数数而已。但既然计数已经采用了十进位制，如果其他度量采用其他进位制，换算起来就不方便，因此尽量全部统一为十进位制确实有好处。螃蟹有8只脚，假如也进化成智能生物，发明出数学来，很可能就采用八进位制，比人类的十进位制还更先进一些.
对百鱼百斤问题的分析
1条大鱼10斤，条数小于斤数；1条中鱼1斤，条数等于斤数；16条小鱼1斤，条数大于斤数。仿照例2的方法，先将大鱼与小鱼配成“一桌”，让它们的条数与斤数相等，再同时扩大若干倍，条数与斤数就仍然相等。或者同时增加若干条中鱼，条数与斤数仍然保持相等，就可能凑出100条鱼100斤了.
试将1条大鱼与16条小鱼配成一“桌”，看它们的总条数与总斤数是否相等?结果发现:条数=1 16=17，斤数=10 1=11.条数大于斤数，二者不相等.
为什么不相等?1条大鱼10斤，斤数比条数多9；16条小鱼1斤，斤数比条数少15.将“多9”与“少15”配在一起，当然不能完全抵消，必然是条数比斤数多。要让它们相互抵消，应当将“多9”与“少15”分别扩大若干倍，使多的与少的正好相互抵消.
于是得到下面的解法:
解 大鱼:(1条10斤)斤数条数= 9×5→ 45(5条50斤)
小鱼:(16条1斤)斤数-条数=-15×3→-45(48条3斤)
5条大鱼，48条小鱼。共5 48=53条，10x5 48÷16=53斤.
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走进教育数学 数学的神韵
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再补充中鱼100-53=47条，就得到问题的正确答案:
大鱼5条，中鱼47条，小鱼48条.
例2的思路:要同时满足条件“人数=馒头数=100”太困难，先将条件放宽:只要求相等，不要求100.相等之后再同时扩大到100.
例3的思路:要同时满足条件“条数=斤数=100”太困难，先将条件放宽:只要求相等，不要求100.相等之后再同时增加到100.
显然，两个题的思路有共同点:①将困难问题变得容易；②将容易问题的答案变成困难问题的答案。
其实，这也是前一节算24的思路.
【例4】 (幻方)试将前9个正整数1，2，…，9按适当顺序填入3x3的方格表中，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都取同一个值.
分析：填这9个数使8个和相等，太困难。我们将它分解变简单:先不要求填9个不同的数1~9使8个和相等，只要求在每行填0，1，2这3个不同的数使8个和相等，得到0，1，2组成的幻方.再用两个0~2幻方组合出1~9幻方。
解 先在每行都填入0，1，2三个数，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于3，得到两个表。将第一个表中所有的数乘3，再与第二个表相加，得到的表中的8个和仍相等。也就是得到了0~8组成的幻方。再将各数同加1得到所求幻方。
图三
将所得的3阶幻方绕中心旋转90°，180°，270°，或者作轴对称，
十六两制斤求两的口诀
2013年12月4日，联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第八次会议在阿塞拜疆巴库通过决议，正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产名录。我看到这个消息后，想到了小时候学珠算背诵十六两制斤求两的口诀，现记录如下：
一，退六二五， 二，一二五，
三，一八七五， 四，二五，
五，三一二五， 六，三七五，
七，四三七五， 八，五，
九，五六二五， 十，六二五，
十一，六八七五， 十二，七五，
十三，八一二五， 十四，八七五，
十五，九三七五， 十六，没有口诀，是一斤。
以上这些口诀加起来是七斤八两，也就是七斤半，八两对半斤民间流传的口头语就是从这里引伸的。
我想，斤求两这个口诀是珠算的一个组成部份，既然珠算被列入世界非物质文化遗产，就应该加以保护和传承。
《爱晚园》编辑推荐
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
前 言数学的神韵by李尚志
14/201
数学精微何处寻?
纷纭世界有模型.
描摹万象得神韵，
识破玄机算古今.
岂是空文无实效，
能生妙策济苍生。
经天纬地展身手，
七十二行任纵横.
这首诗最初是我为编写的一本数学建模教材写的，放在教材正文之前.
为什么数学教材要从诗开始?《三国演义》从诗开始，《红楼梦》从诗开始，数学书为什么不能从诗开始?
这首诗的题目是《咏数学建模》，主题是讲数学怎样从现实世界中产生出来.毛泽东有篇文章，一开始就问:“人的正确思想是从哪里来的?是从天上掉下来的吗?是人的头脑里固有的吗?”数学也是人的正确思想.它不是从天上
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数学的神韵 15/201
掉下来的，也不是人的头脑里固有的.数学，归根结底是从现实世界中来的，是为了描述纷纭的现实世界中的各种现象、解决现实世界中的各种问题而产生出来的，怎样描述“万象”?最开始很可能是“描摹”，就像照相机一样将风景人物依样照下来.但现实世界的万象太复杂，难以一一描摹，即使描摹下来，也对我们没有用处，必须从复杂的不同事物中发现共同点，发现相互联系，发现藏在表面现象后面的规律，这就是神韵，就是玄机，这才产生了各门科学，包括数学在内.
抽象是数学的一个主要特征，抽象也是很多学生学习数学的主要困难和障碍.怎样解决这看起来不可调和的矛盾?基于
基于这一认识，本书引入了大量故事和实例，来体现数学的思想，显示数学的神韵.这些实例，有些是
16/201
让你在轻松愉快的神游中领略数学的神韵，接受数学的熏陶精辟的数学思想“随风潜入夜”，不知不觉地流入读者的心灵.强大的数学方法“润物细无声”，让貌似困难的问题迎刃而解.
书中涉及的问题，表面上简单，看起来像是“山寨版”，实际上暗藏玄机，体现了最正宗的数学大道理.简单的方法最有威力，这是金庸的武侠小说《神雕侠侣》中的独孤求败留下的武功教材中阐述的道理，不妨称为“独孤求败基本定理”.将复杂转化为简单，困难转化为容易，也就是“打不赢就跑，跑到打得赢的地方再打”，仿佛是《天龙八部》中段誉的逃跑功夫“凌波微步”。既要转化，又要保持一些重要的性质不变，这就是著名数学家F克莱茵关于几何学的著名讲演“爱尔兰根纲领”中的思想.几何太灵活，不容易计算，转化为代数来计算;代数太抽象，计算太繁琐，转化为形象生动的几何模型来帮助理解.凡此种种，都体现了数学的神韵.
几何好懂不好算，代数好算不好懂.向量既是几何图形，又能进行运算，兼有几何与代数的优点，在一定程度上克服了两者的缺点，是实现几何与代数两者相互转化的最好的桥梁.实现这种转化的基本路线是:将几何图形的性质用向量运算的语言来描述，通过向量的代数运算来解决。如果还不能解决，再将向量运算通过坐标转化为实数的代数运算来解决，这就是解析几何.现在有些“改革”教材，口头上也说向量是沟通几何与代数的桥梁，却迟迟不修这座桥梁，将向量放在第四册，几乎到了必修教材的
17/201
最末尾，却将解析几何放在第二册，这就是铁了心拒绝通过向量这座桥梁通向解析几何，逼着学生遭受徒步涉水之苦，甚至承受淹死的危险。本书介绍了通过向量实现由几何到代数转化的一些具体实例，希望让一部分学生见识一下向量这座桥梁的威力.同时还在第四节介绍了另一方面的例子，说明几何观点也可以反过来出奇制胜地解决代数问题.
本书也讲了微积分，但不是将大学中的微积分教材照搬过来，而是用“凌波微步”的功夫重新处理，使它的形象更简明，非匀速运动用与之最接近的匀速运动来描述，曲线用与之最接近的直线来刻画，函数用与之最接近的一次函数来代替，这是微积分的主要思想，是莱布尼茨发明微积分时提出的观点.由这个观点出发，我们处理了中学物理和数学中已经提出但还不能解决的问题，或者只知其然而不知其所以然的几个问题，例如:圆锥曲线的光学性质，变速运动的速度与路程，曲线围成的面积，等等.没有学过微积分的读老可以由此入门，已经学过微积分可以从新的角度重新加以理解.
你到餐馆去，面对一份菜单，不需要将全部菜都点来品尝一遍，也不必抱怨菜单中的菜太多你不能全部吃完。只要每个顾客都能找到他喜欢的菜，就很好了。本书也是这样，不指望每个读者都学过本书涉及的全部知识。你也不必抱怨哪个地方没有学过、看不懂.事实上，哪怕是上过大学甚至读过研究生的读者也未必学过书中的全部知识，例如书中所介绍的正17边形尺规作图的理论和作法，涉及抽象代数中的伽罗瓦理论，除了代数专业的研究生外，大
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多数读者就没学过.但是，没学过并不意味着读不懂，学过也不意味着懂了.本书强调的是数学思想而不是具体算法，但同时也强调数学思想不是空的，所要讲的数学思想都通过具体实例(包括具体算法)来体现.因此，不必为-你有多少知识不懂而颓丧，只要你有收获，就值得高兴.不同文化层次的读者都可以从本书中得到收获，对数学的思想有所体会.学过小学算术的读者，就可以读懂前两章的前几节的内容并从中有所收获.学过高中数学的读者已经具备足够的知识读懂本书的大部分内容.有些内容你学过。但本书中利用这些知识来解决问题的例子也可以让你耳目一新，而且你可能发现本书中的叙述与你所学的书本上的叙述不一样.叙述虽然不一样，只要都是对的，就应当相互不冲突，相信本书的叙述可以帮助你对以前学的东西加深理解，将以前令你讨厌的东西变得可爱，以前觉得无用的变得有用，你会更善于用它们来解决各种问题--包括实际生活中的问题和考试中遇到的问题.有些内容你以前没学过，或者没学好，或者以后才学，你可以通过本书先学一遍或者再学一遍，首先体会它的总体思想，在思想的指导下再去学它的具体操作和应用.这就是本书希望达到的目的.当然，我知道，不可能在所有读者身上都达到这个目的，但至少应当能够在大部分读者身上达到.我们希望这部分读者越多越好
李尚志
2009 年 11 月
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第1章
简单见神韵
你会算24吗?
算24，是很多人都知道的一种用扑克牌玩的游戏。每张牌代表一个正整数为简单起见，可以将JQ，K及“大小王”去掉，并约定 A代表1.参加游戏的4个人每人出1张牌4张牌就代表了4个正整数.4个人就开始竞争，看谁最先将这4个正整数通过加减乘除算出24来，而且每个整数恰好用1次。所用的数学知识虽然只是简单的算术，但要算得又快又正确也不容易，并且还有很多难题出现。
【例1】试将以下每组4个整数通过加减乘、除算出24，使每个数恰好用1次。
(1)5，5，5，1.(2)3，3，7，7.
(3)4，4，7，7.(4)3，3，8，8.
算24虽然简单。但这几个题并不容易算。也许，经过努力之后你仍然算不出来，于是你相信它们都是不可能算出的。
算不出来的情况确实有。例如，1，1，1，1肯定算不出来.有人也许会说他算出来了:(1 1 1 1)!=4!=24.不过，这不符合“将4个正整数通过加、减、乘、除算出24”的规则.
类似地，将5，5，5，1通过乘方运算
5x5－1⁵=24算出24，或
图一
图二
第1章 25/201
算24本来不是什么难题，但是，很多人有一个思维定式:既然开始的4个数是整数，算出的结果24也是整数，中间的结果也就必须是整数.其实，规则并不禁止中间过程出现分数，只要打破这个定式，就不难凑出以上难题的答案。不过，按照我们上面的思路，利用运算律进行恒等变形，更加简单自然，因而也更精彩。
中国民间流传很多有趣的算术题。比如，下面就是一个:
【例2】 100个人吃100个馒头，其中大人每人吃3个，小孩每3人吃1个。大人、小孩各多少个?
分析与解答：如果用算术方法解，可以考虑下面的解法:
先将要求放宽，只要求人数与馒头数相等，不要求都是100.很容易凑出一个满足这个条件的方案:让1个大人与3个小孩同在一桌，共是4个人，吃4个馒头，人数与馒头数相等。假定摆很多桌子，每张桌子都同样坐1个大人3个小孩，4个人吃4个馒头，则所有桌子的总人数与总的馒头数由4人和4个馒头同时扩大相同的倍数，得到人数与馒头数相等.只需算一算要摆多少桌子才能让人数达到100，则所吃的馒头数也达到100.每桌4人，100人就需要100÷4=25 桌。25桌就是25个大人，75个小孩.
【例3】 100条鱼100斤，大鱼每条10斤，中鱼每条1斤，小鱼每条1两，大、中、小鱼各多少条?
话说斤两
斤、两是在推行公制单位之前中国使用的度量单位，1斤等于16两，1两就是(1/16)斤。关于斤与两，有些故事值得在这里讲一讲。
26/201
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我读过一本书，说的是古代帝王之谜。其中说到秦始皇靠暴力推行的东西都经受不起历史的考验，没有流传下来，并且举了“1斤=16两”作为没有留传下来的例子。我没有去考证“1斤=16两”是秦始皇规定的还是更早的时候就有的。但不用考证，我就知道“1斤=16两”直到20世纪50年代还在使用，那时我在读小学。那时的会计在进行斤两的单位换算时还需要背熟“一退六二五，二一二五，三一八七五，……”之类的口诀。“一退六二五”就是“1两=0.0625斤”。“二一二五”就是“2两=0.125斤”……。我父亲是会计，在我小时候也教我背过这些口诀。后来改成“1斤=10两”，再后来直接用克、千克这些国际通用单位，这些口诀似乎都没有用了。但这些口诀使我背熟了分母为16以至于分母为8，4，2的分数展开成的小数:1/16=0.0625，2/16=1/8=0.125，…，直到现在对我还很有用。
“1斤=16两”从秦始皇时代(或者更早)使用到20世纪50年代，长达2000多年时间，怎么能说没有流传下来呢?这只能说明书的
“1斤=16两”使用了2000多年，也渗透到中国文化中去了.还产生了一个成语:“半斤八两”。按照“1斤=16两”，当然就有“半斤=八两”。“半斤八两”就是形容两件事相等，分不出谁多谁少，谁好谁坏，谁对谁错。要是按后来的“1斤=10两”的度量制度，那就是“半斤<八两”了，现在民间就流行一个新的说法“能喝半斤喝八两”，借用“半斤<八两”来形容某人喝酒超过了自己的能力。
20世纪50年代末期“1斤=16两”被废止不用，改为“1斤=10两”，这是为了与十进位制相协调，使单位换算更容易掌握，减少广大群众学习和使用的困难。但从数学上说，十六进位制不见得比十进位制更差.至少它有一个优点:半斤=8两，是整数；半斤的一半=4两，仍是整数；半斤的一半的一半=2两，再求一半是1两，也都是整数.我们现在很崇拜二进位制，很为老祖宗的易经和八卦中的
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二进位制萌芽感到自豪。十六进位制其实也是二进位制的范畴，是四位的二进制数，为什么就不感到自豪而要说是暴力的产物呢?
另外的进位制，例如量时间和角度采用六十进位制:1小时=60分，1分=60秒、它有一个优点:1小时的1/2，1/3，1/4，1/5，1/6
分别是
30分，20分，15 分，12分，10分，都是整数.
而十进位制其实并没有什么特别的道理，只不过因为我们长了10个手指，人类最开始借助于手指来数数而已。但既然计数已经采用了十进位制，如果其他度量采用其他进位制，换算起来就不方便，因此尽量全部统一为十进位制确实有好处。螃蟹有8只脚，假如也进化成智能生物，发明出数学来，很可能就采用八进位制，比人类的十进位制还更先进一些.
对百鱼百斤问题的分析
1条大鱼10斤，条数小于斤数；1条中鱼1斤，条数等于斤数；16条小鱼1斤，条数大于斤数。仿照例2的方法，先将大鱼与小鱼配成“一桌”，让它们的条数与斤数相等，再同时扩大若干倍，条数与斤数就仍然相等。或者同时增加若干条中鱼，条数与斤数仍然保持相等，就可能凑出100条鱼100斤了.
试将1条大鱼与16条小鱼配成一“桌”，看它们的总条数与总斤数是否相等?结果发现:条数=1 16=17，斤数=10 1=11.条数大于斤数，二者不相等.
为什么不相等?1条大鱼10斤，斤数比条数多9；16条小鱼1斤，斤数比条数少15.将“多9”与“少15”配在一起，当然不能完全抵消，必然是条数比斤数多。要让它们相互抵消，应当将“多9”与“少15”分别扩大若干倍，使多的与少的正好相互抵消.
于是得到下面的解法:
解 大鱼:(1条10斤)斤数条数= 9×5→ 45(5条50斤)
小鱼:(16条1斤)斤数-条数=-15×3→-45(48条3斤)
5条大鱼，48条小鱼。共5 48=53条，10x5 48÷16=53斤.
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再补充中鱼100-53=47条，就得到问题的正确答案:
大鱼5条，中鱼47条，小鱼48条.
例2的思路:要同时满足条件“人数=馒头数=100”太困难，先将条件放宽:只要求相等，不要求100.相等之后再同时扩大到100.
例3的思路:要同时满足条件“条数=斤数=100”太困难，先将条件放宽:只要求相等，不要求100.相等之后再同时增加到100.
显然，两个题的思路有共同点:①将困难问题变得容易；②将容易问题的答案变成困难问题的答案。
其实，这也是前一节算24的思路.
【例4】 (幻方)试将前9个正整数1，2，…，9按适当顺序填入3x3的方格表中，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都取同一个值.
分析：填这9个数使8个和相等，太困难。我们将它分解变简单:先不要求填9个不同的数1~9使8个和相等，只要求在每行填0，1，2这3个不同的数使8个和相等，得到0，1，2组成的幻方.再用两个0~2幻方组合出1~9幻方。
解 先在每行都填入0，1，2三个数，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于3，得到两个表。将第一个表中所有的数乘3，再与第二个表相加，得到的表中的8个和仍相等。也就是得到了0~8组成的幻方。再将各数同加1得到所求幻方。
图三
将所得的3阶幻方绕中心旋转90°，180°，270°，或者作轴对称，
十六两制斤求两的口诀
2013年12月4日，联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第八次会议在阿塞拜疆巴库通过决议，正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产名录。我看到这个消息后，想到了小时候学珠算背诵十六两制斤求两的口诀，现记录如下：
一，退六二五， 二，一二五，
三，一八七五， 四，二五，
五，三一二五， 六，三七五，
七，四三七五， 八，五，
九，五六二五， 十，六二五，
十一，六八七五， 十二，七五，
十三，八一二五， 十四，八七五，
十五，九三七五， 十六，没有口诀，是一斤。
以上这些口诀加起来是七斤八两，也就是七斤半，八两对半斤民间流传的口头语就是从这里引伸的。
我想，斤求两这个口诀是珠算的一个组成部份，既然珠算被列入世界非物质文化遗产，就应该加以保护和传承。
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科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。